第十六章 Fourier级数

周期为 \(2\pi\) 函数的 Fourier 展开(Eule-Fourier 公式).

Fourier 级数;Fourier 系数;Fourier 级数的部分和.

Fourier 级数展开的基础:三角函数的正交性.

特别地, 奇函数有:

• \(a_n = 0\)
• \[b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)\sin nx \mathrm{d}x\]

类比可得, 偶函数有:

• \(b_n = 0\)
• \[a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}f(x)\cos nx \mathrm{d}x\]

正弦级数

三角级数形如: \[\sum_{n=1}^\infty b_n\sin nx\] 其中 \(n\in\mathbb{N}^+\)

余弦级数

三角级数形如: \[ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos nx \] 其中 \(n\in\mathbb{N}\)

偶延拓;奇延拓.

任意周期(周期为*2T*)函数的 Fourier 展开

Dirichlet 积分

\[ S_m(x) = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\left[ f(x + u) + f(x - u) \right] \frac{\sin \frac{2m + 1}{2}u}{2\sin \frac{u}{2}}\mathrm{d}u \] 其中 \(S_m(x)\) 为 Fourier 展开的部分和数列.

=> \(f(x)\) 的 Fourier 级数是否收敛于 \(\sigma(x)\) 充要条件为: \[ \lim_{m\rightarrow\infty}\int_0^{\pi}\varphi_{\sigma}(u, x)\frac{\sin\frac{2m + 1}{2}u}{2\sin \frac{u}{2}}\mathrm{d}u \] 是否存在且为零. 其中 \(\varphi_{\sigma} = f(x + u) + f(x - u) - 2\sigma(x)\)

Riemann 引理

若 \(\psi(x)\) 在 \([a, b]\) 上 可积 或 绝对可积, 则有: \[ \lim_{p\rightarrow\infty}\int_a^b\psi(x)\sin px \mathrm{d}x = \lim_{p\rightarrow\infty}\int_a^b\psi(x)\cos px \mathrm{d}x = 0 \]

=> 可得 Fourier 级数的收敛判别法: 设函数 \(f(x)\) 在 \([-\pi, \pi]\) 上 可积 或 绝对可积, 满足下列两个充分条件中任意一个时, \(f(x)\) 的 Fourier 级数收敛于 \[[f(x+) + f(x-)]/2\]

1. Dirichelt-Jordan 判别: \(f(x)\) 在点 \(x\) 的某个邻域 \(O(x, \delta)\) 上是 分段单调有界函数

   分段单调有界函数

   设函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 或 \((a, b)\) 上有定义. 若在定义域上存在有限个点 \(a = x_0 < x_1 < \cdots < x_N = b\) 使得 \(f\) 在每个区间 \((x_{i-1}, x_i)\) 上是单调函数, 则称 \(f\) 在定义域上分段单调.

2. Dini-Lipschirz 判别: \(f(x)\) 在点 \(x\) 处满足指数为 \(a\in(0, 1]\) 的 Hölder 条件

   Hölder 条件

   设点 \(x\) 是函数 \(f(x)\) 的 连续点 或 第一类间断点, \(\forall \delta > 0\), 存在常数 \(L > 0\) 与 \(\alpha\in(0, 1]\), 使得成立: \[ \left| f(x+u) - f(x-u) \right| < Lu^{\alpha}\] 其中 \(0 < u < \delta\). 则称 \(f(x)\) 在点 \(x\) 处满足 \(\alpha\in(0, 1]\) 的 Hölder 条件.

   特别地, 当 \(\alpha = 1\) 时, 称为 Lipschirz 条件.

由于函数可导强于 Lipschitz 条件, 故有推论: 若 \(f(x)\) 在 \([-\pi, \pi]\) 上可积或绝对可积, 在点 \(x\) 处 2 的两个单侧导数都存在, 则 Fourier 级数收敛.

须注意,至今未发现判别 Fourier 级数收敛的充分必要条件.